Lotto Program

Nyilvánvaló tévedés volna azt feltételezni, hogy bizonyos matematikai problémák csak önmagukban léteznek. Mint ahogy naivitás volna azt gondolni, mindezen problémák elemzése, megoldása a matematikusok (vagy az arra tett kísérletek bárki) részéről azért is volna kívánatos, mert az különösen hasznos lehet a lottójátékosok, a szerencsejátékosok számára. Azt gyanítom, még az úgynevezett „lottó probléma” sem azért lett ekként elnevezve, mert lényege csakis a lottórendszereken belül volna értelmezhető - válna hasznunkra.
Mindazonáltal léteznek olyan rendszerek, melyek anélkül is működnek (köszönik jól vannak), hogy mi értenénk, le tudnánk írni azok minden részletét - mint például a világegyetem.
A lottórendszerekről viszont már majdnem mindent tudunk.

90 szám 3 hibapontos bontása 100 szelvényen
Melyik lottójátékos ne gondolt volna már arra: vajon mi az a legkevesebb szelvényszám, amit játékba küldve még biztos lesz 2 találatos szelvénye (az Ötöslottón)... mert ha biztos lesz 2 találatos szelvénye, akkor már tényleg csak szerencse dolga a magasabb nyerőosztályok valamelyikének, vagy éppen a telitalálat elérése.
Nos, a kérdés első felére már megkaptuk a választ, ám az alább ismertetett megoldást alkalmazva, talán még csak gondolni sem érdemes a magasabb nyerőosztályok elérésére - bár kétségtelen, hogy van az a nullánál nagyobb szám, amivel kifejezhetjük esélyeinket.
Azon már inkább érdemes eltűnődni, hogy ha 100 szelvényre (a legjobb esetben is) csak (100*10=) 1000 darab számpárt tudunk felírni, akkor miként lehetséges mégis a biztos 2 találat elérése 100 szelvényen, hiszen ha 90 számot 4005 darab (egymástól eltérő) számpárra tudunk bontani, amit pedig csak több mint 401 darab szelvényre lehetséges felírni... akkor hogy is van ez?

A megoldást publikáló matematikusok nevei: Füredi Zoltán, Székely J. Gábor, Zubor Zoltán.
A megoldás egyik sarokköve a skatulya-elv, miszerint: ha a 90 számot 4 számcsoportra bontjuk, akkor feltétlenül lesz egy olyan számcsoport, melyből 2 számot húznak ki. Ha pedig mind a négy számcsoport számait akként variáljuk, hogy ha azok bármelyikéből is húznak ki 2 számot (vagyis, ha minden egyes számcsoport variációja, az adott számcsoportban lehetséges összes számpárt tartalmazza), akkor minden esetben lesz minimum 1 darab 2 találatos szelvényünk.

De mennyi számot tartalmazzanak (és miért pont annyit) az egyes számcsoportok?
Erre nézve is készen kaptuk a megoldást.
Esetünkben a 4 számcsoport, a következők szerint fedi le a 90 számot: 21+21+23+25=90
21 szám teljes értékű minimum garanciás bontása 2 találatra 21 szelvényen, 23 szám 28 szelvényen, és 25 szám 30 szelvényen, tehát 90 szám 3 hibapontos (teljes értékű minimum garanciás) bontása (21+21+28+30=) 100 szelvényen (is) lehetséges.
Hogy miért pont 2x21, 23 és 25 számra osszuk fel a 90 számot?
Mert sem a 21, sem a 23 (bár ezért tennünk kell), sem pedig a 25 számból álló számsorok esetében nem kell számolnunk az úgynevezett fedési, azaz a „lottó problémával”. Nem volna szerencsés olyan dolgok leírásába, magyarázatába kezdenem, melyekhez alig konyítok. Ezért azt javaslom, akit érdekel a lottó probléma mibenléte, az nézzen utána az Interneten.

Az pedig már rajtunk múlik (bár a megoldás szempontjából igencsak lényegtelen), hogy a 90 számból melyik 25 számot soroljuk az egyik, és melyik 21 számot a másik számcsoportba stb.
A bontás minden körülmények között hozza a 2 találatos szelvényt.

Nyilván az is feltűnt mindenkinek, ez a megoldás valójában nem 90 szám 3 hibapontos bontása. Ez 2x21, 23 és 25 szám teljes értékű 3 hibapontos bontásainak lazán összeillesztett, együtt értelmezett halmaza, ami (minő véletlen) pont arra elég, hogy 90 szám 3 hibapontos (bárhonnan is nézzük) teljes értékű bontását kapjuk. Amitől tehát zseniális, az az a tény, hogy bár a variáció nem tartalmazza az összes (4005 darab) számpárt, mégis minden körülmények között biztosítja a 2 találatos szelvényt. Ugyanakkor tudjuk azt is: 90 számból nem lehetséges 5 számnál kevesebbet kihúzni.

Demkó István ötlete nyomán azonban, egy könnyebben alkalmazható, egyszerűbb megoldásra nyílik lehetőségünk. Demkó István a következők szerint fedi le a 90 számot: 19+21+25+25=90. Az általa is elkészített 19 illetve 21 szám 3 hibapontos variációját felhasználva, bárki próbára teheti a szerencséjét.
Íme 90 szám 3 hibapontos bontása 100 szelvényen.

A további tartalom feltöltése rövidesen megtörténik.